FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS PARA PRUEBA DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR CEPA ROSALÍA DE CASTRO - LEGANÉS LA PROPORCIONALIDAD


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1 . RAZÓN Y PROPORCIÓN LA PROPORCIONALIDAD La razón entre dos números a y b es el cociente, nos indica el número de veces que a contiene b. Una proporción es una igualdad entre dos razones = se lee a es a b como c es a d El valor de los cocientes de una proporción es constante y se conoce como constante de proporcionalidad (k). 2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Una magnitud es cualquier cualidad o característica que puede medirse (masa, altura, precio, tiempo...). Hay magnitudes que están relacionadas, de manera que una depende de la otra. Dos magnitudes A y B, son directamente proporcionales si, cuando una de ellas aumenta (o disminuye), la otra también aumenta (o disminuye) en la misma proporción, de tal forma que la razón entre ellas se mantiene constante. (La constante de proporcionalidad). = REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Sirve para calcular el valor de una de las dos magnitudes, a partir de los otros, mediante la proporción que existe entre ellas, que da origen a una ecuación: =. =. =. Ejemplo: Si dos entradas de teatro cuestan 27 Cuánto cuestan 5 entradas? En este caso el coste y el número de entradas son dos magnitudes directamente proporcionales, porque si dividimos la cantidad pagada entre el número de entradas, el cociente es siempre igual al precio unitario por entrada. =3 5 º =. = REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Consiste en dividir una cantidad en partes directamente proporcionales a unas cantidades dadas. Se realiza aplicando la siguiente propiedad: = = + + (constante de proporcionalidad) Es decir, que si dos o más partes son proporcionales, también lo es su suma. De este modo podemos hallar la constante de proporcionalidad dividiendo el total a repartir entre lo que suman todos los números. Ejemplo: Juan, Luisa y María compraron un décimo de lotería poniendo 5, 3 y 2 euros respectivamente el décimo ha resultado premiado con 500 Cómo deben repartir el premio?

2 = = = = =50 ( ) =50 =250 () 5 =50 =50 () 3 =50 =00 (í) 2 4. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si, cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye de forma proporcional o viceversa. Esto equivale a que una de ellas es directamente proporcional a la inversa de la otra, por lo tanto su producto es constante = REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Sirve para calcular el valor de una de las dos magnitudes, a partir de los otros, utilizando la proporción inversa que existe entre ellas, es decir, que el producto de ambas es siempre igual. = = Ejemplo: Si tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, cuántos días emplearán 8 hombres para realizar el mismo trabajo?. Son dos magnitudes inversamente proporcional porque si se duplica el número de personas el tiempo necesario para hacer el trabajo será la mitad. El producto de las dos magnitudes es constante. =24 3=72 (El total de días de trabajo que se necesitan para realizar el trabajo). º í = =4(í) 5. REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Consiste en dividir una cantidad en partes inversamente proporcionales a otras cantidades. Equivale a un reparto directamente proporcional realizado con respecto a las cantidades inversas: = = + + Una vez invertidas las cantidades iniciales, podemos multiplicarlas por el mínimo común múltiplo de los denominadores, de tal manera que el reparto se hace con números enteros, para evitar tener que operar con fracciones. Sin embargo este paso es opcional, porque operando con fracciones el reparto resulta idéntico. Ejemplo: Tres ciclistas han de repartir 380 en partes inversamente proporcionales al tiempo que han empleado en hacer el mismo recorrido Cuánto le corresponderá a cada uno si el primero tardó 2 horas, el segundo 4 horas y el tercero 5 horas?. 2 = 4 = 5 = = =400 2

3 2 4 5 =400; = ( º) 2 400=200 =400; = ( 2º) 4 400=00 =400; = ( 3º) 5 400=80 Si queremos evitar operar con fracciones, multiplicamos las tres fracciones por su mínimo común múltiplo, que es 20, resultando y realizamos el reparto proporcional de los 380 con 20=0, 20=5, 20=4 respecto a 0, 5 y 4. 0 = 5 = 4 =380 9 = =20 =20; =0 20=200 ( º) 0 =20; =5 20=00 ( 2º) 5 =20; =4 20=80 ( 3º) 4 6. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Cuando en un problema intervienen más de dos magnitudes, puede ocurrir que cada una se relacione con las otras de modo diferente, de forma que unas sean directamente proporcionales y otras inversamente proporcionales. Para resolver este tipo de problemas se pueden seguir dos métodos. Regla de tres compuesta: Se utiliza para resolver problemas en los que se relacionan tres o más magnitudes, que pueden estar entre sí en proporción directa o inversa. Se compone de dos o más reglas de tres simples (directas o inversas) aplicadas de forma consecutiva. Para resolver estos problemas se aplican los siguientes pasos: Se identifican las magnitudes relacionadas Se establece si la relación de cada una de ellas con la magnitud incógnita es directa o inversamente proporcional Se ordenan los valores correspondientes a cada magnitud en dos filas. Se forma una ecuación poniendo a un lado la razón que incluye la incógnita y al otro lado el producto de las restantes razones, tomando la razón inversa para cada magnitud que esté en relación inversa con la incógnita. Finalmente se resuelve la ecuación Reducción a la unidad: Consiste en hallar la expresión que liga las diferentes magnitudes a la constante de proporcionalidad, dividiéndolas en caso de ser directamente proporcionales o multiplicándolas si son inversamente proporcionales. Ejemplos:. Nueve grifos abiertos durante 0 horas, han consumido una cantidad de agua por valor de 8. Cuál es el consumo de 5 grifos abiertos 2 horas? 3

4 En este ejemplo intervienen tres magnitudes, G=numero de grifos, C=consumo de agua. H=número de horas que permanecen abiertos. Tenemos que establecer la relación de proporcionalidad que existe entre ellas: Para un consumo de agua fijo, el numero de grifos y el número de horas abiertos son inversamente proporcionales. ( más grifos consumen lo mismo en menos horas ) Para un número fijo de horas abiertos, el número de grifos y el consumo de agua son directamente proporcionales ( Más grifos consumen más agua en las mismas horas ) Para un número fijo de grifos, el numero de horas y el consumo de agua son directamente proporcionales ( los mismos grifos consumen más agua en más horas ) Formamos la expresión que relaciona las tres magnitudes con la constante de proporcionalidad: C H = La constante es igual al consumo de agua de un grifo en una hora. Su valor podemos calcularlo a partir de los datos del problema: A partir de la expresión =0 20 h =0 20 podemos hallar el valor de la incógnita planteando una ecuación: 5 2 =0 20 = =36 También podemos plantear una regla de tres compuesta: La regla de tres compuesta consiste en el encadenamiento de dos reglas de tres simples directas. La primera, para calcular el consumo de 5 grifos en 0 horas, y la segunda para calcular el consumo de 5 grifos en 2 horas. En la práctica, no se calcula en dos fases, sino que se hace todo a la vez. = =36 directa directa 2. Cinco obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días Cuánto tardarán 4 obreros, trabajando 0 horas diarias? En este ejemplo intervienen tres magnitudes, O=número de obreros, D=días de trabajo. H=número de horas de trabajo diario. Tenemos que establecer la relación de proporcionalidad que existe entre ellas: Para un número de obreros fijo, las horas de trabajo diarias y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales. ( los mismos obreros necesitan más días si trabajan menos horas diarias ) Para un número fijo de días de trabajo, el número de obreros y las horas de trabajo diario son inversamente proporcionales. ( trabajando menos horas diarias, se necesitan más obreros para terminar en los mismos días ) Para un número fijo de horas de trabajo diarias, el numero de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales ( trabajando las mismas horas, se necesitan más obreros para terminar en menos días ) Formamos la expresión que relaciona las tres magnitudes con la constante de proporcionalidad: = La constante es igual al total de horas de trabajo de un obrero necesarias para completar el muro. 4

5 Su valor podemos calcularlo a partir de los datos del problema: 5 6 2=60 h A partir de la expresión =60 podemos hallar el valor de la incógnita planteando una ecuación: 4 0=60 = = 5 í También podemos plantear una regla de tres compuesta: La regla de tres compuesta consiste en el encadenamiento de dos reglas de tres simples inversas. = = 5 3. Ocho obreros realizan en 9 días, trabajando 6 horas por día, construyen un muro de 30 metros. Cuántos días necesitarán 0 obreros, trabajando 8 horas diarias para construir 50 m de muro? En este ejemplo intervienen cuatro magnitudes: O=número de obreros, D=días de trabajo. H=número de horas de trabajo diario. M=metros de muro construidos. La relación de proporcionalidad que existe entre ellas viene dada por la expresión: = La constante es igual al total de metros de muro que construye un obrero trabajando un día durante una hora. Su valor podemos calcularlo a partir de los datos del problema: inversa inversa = A partir de la expresión = podemos hallar el valor de la incógnita planteando una ecuación: = = =9 También podemos plantear una regla de tres compuesta: La regla de tres compuesta consiste en el encadenamiento de dos reglas de tres simples inversas y una directa. directa = =9 7. PORCENTAJES inversa Tanto por ciento de una cantidad p % de q es la parte de q que se obtiene al dividir q en 00 partes iguales y tomar p, es decir de q. inversa Que se calcula mediante la siguiente multiplicación: 00 PORCENTAJE QUE REPRESENTA UNA PARTE RESPECTO AL TOTAL. Para conocer el porcentaje que representa p respecto a q podemos hacerlo de dos formas: 5

6 A: Multiplicando por 00 la razón B: Aplicando una regla de tres simple directa. %= Cantidad % q 00 () () 00% = ; = p x Ejemplo: María ha acertado 8 de los 4 intentos que ha hecho a canasta. Cuál ha sido su porcentaje de aciertos? AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES. 8 4 = 00 =57,4% Calcular un aumento porcentual de un x% de una cantidad equivale a calcular el (00 + x) % de esa cantidad =00+ =(00+)% 00 Una disminución porcentual será (00 - x) % de esa cantidad =00 =(00 )% 00 Ejemplo: Para una reducción del 5%, el porcentaje resultante es el 95% (multiplicar por 0 95), para un aumento del 20% el porcentaje resultante es del 20% (multiplicar por 2). Cálculo del incremento porcentual: Si queremos saber en qué porcentaje, x, se ha incrementado una cantidad para pasar de un valor inicial v i a un valor final v f, podemos plantear la ecuación: = = 00% SI el valor del incremento es positivo, corresponde a un aumento, si es negativo, a una disminución. Ejemplos:. Nos hacen un 5% de descuento sobre el precio de un artículo. Si hemos pagado 76, cuánto costaba antes de hacer el descuento? 95 =76 ; = Un artículo al que han aplicado un IVA del 2% nos ha costado 508,20. Cuál era el precio del artículo sin IVA? 2 =508,20 ; = El precio de un artículo ha subido de 8 a 0 euros. En qué porcentaje se ha incrementado? 00%= %=25% 8 4. El precio de un artículo ha bajado de 0 a 8 euros. En qué porcentaje ha disminuido? 00%= %= 20% 6

7 En estos dos últimos ejemplos se puede observar que una misma cantidad de subida o bajada (2 euros) no corresponde al mismo porcentaje, ya que en el primer caso representa un 25% de subida y en el segundo representa un 20%. De bajada. Esto se debe a que los porcentajes son valores relativos, que se expresan con respecto al valor inicial. 8. PROBLEMAS DE MEZCLAS Son problemas en los que intervienen dos productos A y B, y una magnitud v, estudio del problema (que según los casos puede ser el precio unitario, la temperatura, la densidad, la graduación alcohólica, etc.) que se combinan formando una mezcla M, a la que cada producto contribuye en una determinada cantidad, de forma siempre se cumplen las ecuaciones: () () = () () + () () () + ()= () donde c(m) es la cantidad de la mezcla, c(a) y c(b) son las cantidades de cada producto, v(m) es el valor de la magnitud v en la mezcla, v(a) y v(b) los valores de la magnitud en cada producto. Si dividimos ambas expresiones por la cantidad c(m), las expresiones resultantes son: v(m) = p(a) v(a) + p(b) v(b) p(a) + p(b)= donde () = () y () = () son las proporciones de cada producto en la mezcla. Que pueden () () expresarse con cualquier coeficiente, razón o porcentaje, siempre que ambas sumen. Ejemplo: Un tendero tiene café A, cuyo precio unitario es de 2 /kg y café B, cuyo precio unitario es de 9 /kg. Los mezcla obteniendo café M, cuyo precio varía entre 9 y 2 /kg, según sea la cantidad que aporta de cada uno de los dos tipos. Calcular el precio de la mezcla en cada uno de los siguientes casos: a) Tres partes de A y dos partes de B: ()= ()= v(m) = 2+ 9= =0 8 /kg b) Mezcla a partes iguales: ()= ()= v(m) = 2+ 9= =0 50 /kg c) El doble de A que de B: ()= ()= v(m) = = /kg 2+ 9= d) 5 kg de A y 3 kg de B.: ()= ()= v(m) = 2+ 9= =0 875 /kg e) Un 80% de A y el resto de B : ()= ()= v(m) = 2+ 9= = 40 /kg 7

8 EJERCICIOS. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 2 días por 792. Cuánto costará el hotel a 5 personas durante ocho días? 2. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 3. Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 2 y 6 años de edad proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? 4. Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y Al cabo de un año han ganado Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 5. Se reparte una cantidad de dinero entre tres personas, de forma directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponden 735. Hallar cuánto dinero les corresponde a la primera y a la tercera. 6. Se reparte dinero en proporción a 5, 0 y 3; la parte menor es de Cuánto corresponde a las otras dos? 7. Repartir 420, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 9. Con 2 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 20 cm de altura y 200 metros de longitud. 0. obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?. Seis grifos tardan 0 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 2. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 4. El precio de un ordenador es de 200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 2%? 5. Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 6. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de Se funden 000 gr. de oro con una pureza del 90% con una cantidad desconocida oro de pureza 75%. La pureza de la mezcla es del 85%. Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha añadido a la mezcla? 8. Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0 6 euros/kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0 8 euros/kg. Qué precio tiene la mezcla? 9. En cierta mina de plata hay dos galerías, de la primera se extraen 8 T. de mineral con una pureza del 60%, de la segunda se extraen 2 T. de una pureza del 70%. Todo en mineral extraído se coloca en una misma pila Cuál es la pureza del mineral que hay en la pila? 8

9 20. Si mezclamos 5 Kg. de café de euros/kg. con una cantidad desconocida de otro tipo de café con un precio de 9.7 euros/kg. Se obtiene una mezcla cuyo precio por Kg. es 0.45 Cuál será la cantidad de café del segundo tipo que se ha mezclado? 2. En una bodega se produce vino de gran calidad y vino de calidad media. Se quiere lanzar un producto en el que se mezclan 5 litros de vino de gran calidad a 2.6 euros/litro con 5 litros de calidad media a 3.4 euros/litro. Cuál será el precio de la mezcla resultante? 22. Se mezclan 2 litros de agua a una temperatura de 53ºC con 6 litros a 83ºC Cuál será la temperatura de la mezcla? 23. Se funden 9 Kg. de oro con una pureza del 80% con Kg. de una pureza del 60% Cuál es la pureza de la mezcla? 24. Si mezclamos 4 Kg. de café de 0.6 euros/kg. con 6 Kg. de café de precio desconocido. Se obtiene una mezcla cuyo precio por Kg. es 0.57 Cuál será el precio de un Kg. del segundo tipo de café? 25. Qué cantidades hay que mezclar de dos piensos que producen, respectivamente, 5 cal/g y 7 cal/g para obtener 6 kg de una mezcla que produzca 5 8 cal/g? litros de vino de 2 euros el litro, se rebajan con cierta cantidad de agua, de forma que el precio se reduce a 5 euros litro. Qué cantidad de agua se añadió? 27. Si el precio neto de un artículo gravado con un IVA del 2% es de 2 euros, Cuál era su precio bruto? 28. Si el IVA de un artículo aumenta del8 % al 2%, en qué porcentaje aumenta su precio neto? 29. Si un día sube la bolsa el 0%, al día siguiente el 5% y al tercer día el 5%, cuál ha sido la subida conjunta de los tres días? Cuál ha sido la subida media? 30. Un iceberg pierde cada día un 0% de su peso, qué porcentaje de su peso habrá perdido al cabo de una semana? 3. Un inversor ha perdido el 20% de sus ahorros en la bolsa, cuánto debería subir la bolsa para que recuperase la cantidad perdida? 32. Un depósito bancario se remunera con un interés compuesto del 3% anual. Cuál ha sido su rentabilidad al cabo de 5 años? 33. (Castilla la Mancha, junio 2005) Para llenar un depósito de agua tenemos dos mangueras de pozos distintos. Por separado tardan en llenarlo 2 y 3 horas. Cuánto tardan entre la dos? Además el depósito tiene cuatro desagües iguales que juntos vacían el depósito en una hora. Si, por descuido, el depósito comienza a llenarse con un desagüe abierto, cuánto tardará en estar lleno? 34. (Castilla la Mancha, junio 2008) Tres socios invierten juntos en bolsa las cantidades de 0000, 2000 y 4000 respectivamente para repartirse los beneficios de forma directamente proporcional a las cantidades invertidas. Establezca las cantidades correspondientes a cada uno si al cabo de 6 meses han obtenido un beneficio de (Castilla la Mancha, Junio 2009) En una vaquería un rebaño de 20 vacas se come, en 5 días 2400 Kg de pienso. Determinar: a. Cuántos días durarán 4200 Kg. a 75 vacas? b. Cuántas vacas se comerán los 4200 Kg. de pienso en 2 días? c. Cuántos kilos de pienso se comerán 43 vacas en 25 días? 36. (Extremadura, junio 2003) Se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto dando lugar a una mezcla de 0 grados (0 º de alcohol), Si, por el contrario, se mezclaran 20 litros de vino blanco con 60 litros de vino tinto, se obtendría un vino de grados. Se pide: a. Qué graduación tiene el vino tinto? b. Qué graduación tendría una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de vino tinto? 9

10 37. (C. Valenciana, Junio 2009) A Marina, Elena y Josep les ha tocado la lotería y tienen que repartirse un premio de Marina jugó 0, Elena 20 y Josep 30. Qué premio le corresponde a cada uno, teniendo en cuenta que el reparto es proporcional a lo jugado? 38. (La Rioja, 2009) Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, cuántos obreros, trabajando 0 horas, se necesitarían para pintar 5 Km.? 39. (Canarias, 2008) Se repartió una herencia de 6 millones y medio de euros entre una viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana, y ésta el triple de lo que recibió su madre. Cuánto recibió cada uno? 40. (Castilla León, Junio 2009) Al repartir una cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a las edades de tres hermanos, que tienen 5, 25 y 20 años respectivamente, le correspondieron al segundo 60 más que al más pequeño. Cuánto le correspondió a cada hermano? 4. (Madrid, Junio 200) Una organización está preparando la acogida de refugiados en un campamento. En un primer momento recibieron la donación de 4400 euros, con los que se puede alimentar a 40 personas durante 20 días. Más tarde les notificaron que debían acoger a 2 personas más, por lo que recibieron una dotación adicional de 748 euros. Determine cuántos días se podrá alimentar a los refugiados en las nuevas condiciones. 42. (Extremadura, Septiembre 200) Con 450 litros de agua hemos regado durante 9 días 0 árboles de una forma eficiente, y al 70 % de ellos se les ha aplicado una cura con un coste total de 55 euros. Resuelve las siguientes cuestiones: a. Cuántos litros de agua ha necesitado cada árbol diariamente? b. Con 900 litros de agua cuántos días podríamos regar 5 árboles? c. Cuántos árboles podríamos regar con 800 litros de agua durante 2 días? d. calcular el coste de la cura por cada árbol y redondearlo a dos cifras decimales. 43. (Castilla la Mancha, Junio 20) En un hospital se dispone de un cuerpo de 75 médicos que trabajan 4 días a la semana en turnos de 2 horas diarias. Se pretende llegar a un acuerdo para que trabajen 5 días a la semana en turnos de 0 horas diarias. Cuántos médicos harán falta para realizar el mismo servicio? 44. (C. Valenciana, septiembre 20) Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, cuántos obreros, trabajando 0 horas, se necesitarían para pintar 5 km? 45. (C. Valenciana, Junio 20) Las 3/4 partes de las plazas de un avión son de clase preferente y el resto de clase turista. El 40 % de las plazas de clase preferente y el 70 % de las de clase turista están ocupadas; las restantes están vacías. Si en total hay 228 plazas ocupadas. Cuál es el número total de plazas del avión? 46. (Madrid, mayo 202) En una comunidad de vecinos algunos gastos se reparten de forma directamente proporcional a la superficie de las viviendas. Tienen que afrontar el pago de una obra por valor de el edificio tiene un bajo con un local y dos plantas. El local mide 200 m 2 ; en cada planta hay tres viviendas: A, B y C. Cada una de las viviendas A tiene 60 m 2, cada una de las B tiene 45 m 2 y cada una de las C, 75 m 2. Calcule la cantidad del pago de la obra que le corresponde a cada uno de los 7 propietarios de la finca. 47. (Castilla la mancha, junio 202) En la construcción de un puente trabajaron.000 personas en turnos de 8 horas durante 300 días. a. Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 0 horas? b. Y si hubieran trabajado 600 personas en turnos de 8 horas? c. Y si fuesen.500 personas trabajando 5 horas diarias? 48. (La Rioja, junio 200) Los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean: 2/5 en combustible para calefacción, /8 en electricidad, el 25% en mantenimiento y 8 euros en limpieza. 0

11 a. Qué fracción del total se destina a limpieza? b. De cuánto dinero dispone la comunidad? c. Qué cantidad de dinero se emplea en cada apartado? 49. (C. Valenciana, junio 202) Un 40% de los matriculados en un curso de preparación de la prueba de acceso a ciclo superior son hombres. La mitad de los hombres y una de cada tres mujeres tienen algún título de grado medio. Si las mujeres que tienen algún título de grado medio son 2: a. Cuántas personas hay matriculadas en dicho curso? b. Cuántas personas matriculadas no tienen ningún título de grado medio? 50. (C. Valenciana, septiembre 200) Al comprar un artículo nos han hecho un descuento del 20%, pagando finalmente por él 48. Cuánto habríamos pagado por el mismo artículo si el descuento hubiese sido del 30 %? 5. (C. Valenciana, junio 202) El 2% de una cantidad más el 8% de su mitad suman 966. Cuál era la cantidad inicial? 52. (C. Valenciana, junio 200) En un examen de biología aprueba el 52% del alumnado. Posteriormente, los suspendidos realizan una recuperación, aprobando el 25%. Si en total son 32 los aprobados, a. cuál es el porcentaje de aprobados? b. Cuántos alumnos/as son en total? 53. (Baleares, septiembre 200) Qué porcentaje de rebajas se obtiene con esta oferta: Lleve 3 y pague 2! - 3x2 en todos los productos? 54. (Baleares, mayo 200) Un lanzador de tiro con arco hace diana en 5 de cada 20 tiros y otro en 24 de cada 30 tiradas, Cuál de los dos tiene mayor eficacia?

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